Sifat-sifat Operasi dan Syarat-syarat perkalian matriks matematika
Perkalian matriks
terhadap matriks lain serta syarat-syarat apa saja yang harus dipenuhi agar
hasil perkalian matriks tersebut terdefinisi, akan dibahas pada materi ini
sebaiknya pelajari terlebih dahulu materi prasyarat tentang dasar-dasar
matriks, agar anda lebih mudah mempelajari materi perkalian matriks ini.
Syarat-syarat Perkalian matriks
(a)
Hasil perkalian matriks A dan B dengan
ordo A_1×m dan B_m×1
adalah matriks C_1×1 dimana elemen pada
baris ke-1 dan kolom ke-1 merupakan jumlah dari perkalian elemen-elemen yang
bersesuaian pada baris ke-1 matriks A dan kolom ke-1 matriks B
Contoh:
Hitunglah
perkalian matriks dibawah ini!
Hitunglah
A× B
[Penyelesaian]
Sesuai
dengan prinsip perkalian matriks , maka
(b)Perkalian
matriks A_m×n
dengan matriks B_
p×q
terdefinisi jika n = p atau Jika banyaknya kolom matriks A sama dengan
banyaknya baris pada matriks B. Dan hasil kali nya adalah matriks C_ m×q
Pengertian dikalikan dari kiri dan dikalikan dari Kanan dalam Perkalian Matriks
Dalam
perkalian dua matriks tidak berlaku sifat komutatif, AB ≠ BA. Dalam aljabar
perkalian matriks AB disebut matriks B dikalikan dari kiri oleh matriks A dan
perkalian matriks BA disebut matriks B dikalikan dari kanan oleh matriks A.
Perhatikan
contoh dibawah ini!
Diketahui
dua buah matriks dibawah ini:
Apakah
AB = BA?
[Penyelesaian]
Hasil
kali AB dan BA seperti dibawah ini,
Dari
hasil diatas maka AB ≠ BA.
Pemangkatan
Matriks Persegi
Jika
A suatu matriks persegi, maka berlaku seperti dibawah ini,
Sifat-sifat Operasi perkalian Matriks
Jika
setiap perkalian matriks A dan B terdefinisi, maka selalu berlaku:
1)
(AB)C = A(BC) , (sifat asosiatif)
2)
A(B + C) = AB + AC, (sifat distributif kiri)
3)
(B + C)A= BA + CA , (sifat distributif kanan)
4) k
(AB) = (kA)B= A(kB), k skalar dan k ϵ R
Sifat-sifat Operasi Transpose pada Matriks
Dibawah
ini sifat-sifat transpose pada matriks,
Contoh Soal perkalian matriks dengan matriks
Dibawah
ini contoh-contoh soal dan penerapan sifat-sifat operasi perkalian matriks
Selesaikan
soal-soal dibawah ini!
1.Diketahui
Matriks-matriks dibawah ini, Hitunglah A × B ,
[Penyelesaian]
Sesuai
dengan prinsip perkalian matriks, maka
2.
Hitunglah perkalian matriks ordo 2× 2
dibawah ini,
[Penyelesaian]
3.Hitunglah
perkalian matriks 3 × 3 dibawah ini
[Penyelesaian]
Solusi
perkalian matriks 3 × 3 diatas adalah,
4.Hitunglah
perkalian matriks beda ordo B dan C berikut ini,
[Penyelesaian]
Matriks
B_2 × 2 dan
C_2 × 3 ,
banyak kolom matriks B sama dengan banyak baris matriks C maka B × C
terdefinisi. Hasil perkaliannya adalah,
5.Hitunglah
perkalian tiga matriks A× B× C dibawah
ini,
[Penyelesaian]
Dengan
menggunakan sifat asosiatif, A× (BC)
6.Diketahui
matriks-matriks dibawah ini
Hitunglah
AB + AC
[Penyelesaian]
Dengan
menggunakan sifat distributif, AB + AC = A(B + C) maka
7. Hitunglah
perkalian matriks dengan skalar
dibawah ini!
Tentukan
-3A
dan 2A
[Penyelesaian]
Hasil
perkalian matriks dengan skalar diatas adalah,
8.
Diketahui matriks-matriks berikut ini,
Tentukan
perkalian matriks transpose yaitu
(AB)^t
[Penyelesaian]
Tentukan
dahulu A× B,
Maka
(AB)^t
,
adalah :
9.Jika
diketahui matriks-matriks dibawah ini,
Maka
nilai abc adalah?
[Penyelesaian]
Tentukan
dahulu nilai a,b dan c,
Dari
(1),
2a - 3b = - 1 ……(2)
4a +
6b = 10 ……(3)
c+ 1 = 2 ……(4)
Dari
2× (2) + (3), a = 1 dan b = 1
Dari
(4), c = 1
∴ abc = 1
